兔子数列（斐波那契数列）的证明主要通过递推关系和特征方程两种方法进行。以下是详细的证明过程：

一、递推关系证明

定义与初始条件

兔子数列满足：

$$

F(n) = F(n-1) + F(n-2) quad text{（} n geq 3 text{）}

$$

其中，$F（1） = 1$，$F（2） = 1$。该关系式基于兔子繁殖规则：

第1个月和第2个月各有1对兔子；

从第3个月开始，每对兔子每月产1对新兔子，因此第$n$个月的兔子数等于第$n-1$个月和第$n-2$个月兔子数之和。

数列前几项验证

通过递推公式计算前几项：

$$

begin{align*}

F(3) &= F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

F(4) &= F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3